Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, por exemplo,
, a derivada é
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Primeiro, identificamos as partes:
- Função externa:
- Função interna:
Calculamos as derivadas:
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
.
Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 432.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente (432) e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde
é a inclinação e
é o ponto.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares são negativos recíprocos.
Portanto, se a inclinação da tangente é 432, a inclinação da normal será:
Usando novamente a fórmula da reta na forma ponto-inclinação com o ponto
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
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Encontre as equações das retas tangente e normal à curva
no ponto
.
Derive as seguintes funções:
Obter a derivada de ordem
das seguintes funções.
Obter a derivada de ordem
das seguintes funções.