Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, por exemplo, , a derivada é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Primeiro, identificamos as partes:
  • Função externa:
  • Função interna:
Calculamos as derivadas:
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto .
Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 432.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente (432) e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
onde é a inclinação e é o ponto.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares são negativos recíprocos.
Portanto, se a inclinação da tangente é 432, a inclinação da normal será:
Usando novamente a fórmula da reta na forma ponto-inclinação com o ponto :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto .
Derive as seguintes funções:
Obter a derivada de ordem das seguintes funções.
Obter a derivada de ordem das seguintes funções.