Obter a derivada de ordem
das seguintes funções.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício que pede para encontrar a derivada de ordem
da função
. Vamos trabalhar com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e polinômios, e combinar essas regras para chegar na segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é
e a função interna é
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada de
é
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada da função
. Novamente, utilizamos a regra da cadeia e também a regra do produto, já que temos a multiplicação de
e
.
Passo 7
Aplicando a regra do produto, a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Primeiro, vamos derivar
:
Passo 8
Agora, derivamos
novamente usando a regra da cadeia:
Passo 9
Substituindo
e
na regra do produto:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de ordem 2 da função
é:
Exercícios relacionados
Obter a derivada de ordem
das seguintes funções.
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.
Obter a derivada de ordem
das seguintes funções.
Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia: