Obter a derivada de ordem das seguintes funções.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício que pede para encontrar a derivada de ordem da função . Vamos trabalhar com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e polinômios, e combinar essas regras para chegar na segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é e a função interna é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de é , então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada da função . Novamente, utilizamos a regra da cadeia e também a regra do produto, já que temos a multiplicação de e .

Passo 7

Aplicando a regra do produto, a derivada de é . Aqui, e .
Primeiro, vamos derivar :

Passo 8

Agora, derivamos novamente usando a regra da cadeia:

Passo 9

Substituindo e na regra do produto:

Passo 10

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de ordem 2 da função é:

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