Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados. no ponto .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar as equações das retas tangente e normal à função no ponto . Para isso, vamos usar derivadas para determinar a inclinação dessas retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.
Passo 3
Vamos derivar usando a regra da cadeia. Escrevendo de forma mais clara:
Aplicando a derivada:
Passo 4
Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica :
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.
Passo 6
Com a inclinação da tangente () e o ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Distribuindo o 3:
Isolando :
Passo 8
A reta normal é perpendicular à tangente. A inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Portanto:
Passo 9
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação para a normal:
Passo 10
Distribuindo o :
Isolando :
Resposta
A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .