Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar as equações das retas tangente e normal à função no ponto . Para isso, vamos usar derivadas para determinar a inclinação dessas retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 3

Vamos derivar usando a regra da cadeia. Escrevendo de forma mais clara:
Aplicando a derivada:

Passo 4

Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.

Passo 6

Com a inclinação da tangente ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Distribuindo o 3:
Isolando :

Passo 8

A reta normal é perpendicular à tangente. A inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Portanto:

Passo 9

Usando novamente a fórmula ponto-inclinação para a normal:

Passo 10

Distribuindo o :
Isolando :

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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no ponto .
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