Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de
no ponto
com o eixo y .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o ponto onde a reta tangente ao gráfico de
no ponto
intersecta o eixo y. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a equação da reta tangente a uma curva num ponto específico. Isso envolve derivadas para calcular a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está realmente no gráfico da função. Substituindo
na função:
Então, o ponto está correto.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. A derivada nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
Derivando:
Passo 4
Agora, calculamos a inclinação da tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Passo 6
Para encontrar onde essa reta intercepta o eixo y, basta encontrar o valor de
quando
:
Então, o ponto de interseção com o eixo y é
.
Resposta
O ponto de interseção da reta tangente com o eixo y é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, obter e interpretar
quando
varia de de 2 a 2,05 .
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.
Derive as seguintes funções:
Derive as seguintes funções: