Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e depois usar essa informação para achar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A gente pode reescrever a função como
para facilitar a derivação usando a regra do poder.
Passo 3
Aplicando a regra do poder na função reescrita:
Essa é a expressão da derivada, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Passo 4
Agora, vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
onde
é a inclinação e
é o ponto dado. Para a reta tangente:
Passo 6
Para a reta normal, que é perpendicular à tangente, a inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando a fórmula da reta novamente para a normal:
Resposta
As equações das retas são:
- Reta tangente:
- Reta normal:
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das seguintes funções.
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