Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e depois usar essa informação para achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A gente pode reescrever a função como para facilitar a derivação usando a regra do poder.

Passo 3

Aplicando a regra do poder na função reescrita:
Essa é a expressão da derivada, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
onde é a inclinação e é o ponto dado. Para a reta tangente:

Passo 6

Para a reta normal, que é perpendicular à tangente, a inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando a fórmula da reta novamente para a normal:

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta tangente:
  • Reta normal:

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