Obter a derivada de ordem n das seguintes funções.
y = x^2 + ln(2 x) ; n = 2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a derivada de ordem da função . Isso significa que vamos precisar calcular a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções polinomiais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a .
  • A derivada de é bem simples: basta usar a regra do monômio, que diz que a derivada de é . Então, a derivada de é .
  • Agora, vamos derivar . Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde é uma função de . No nosso caso, , então . Aplicando a regra, a derivada de é .
Então, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, derivar .
  • Derivando , usamos novamente a regra do monômio: a derivada de é .
  • Derivando , que pode ser escrita como , usamos a regra do poder: a derivada de é . Então, a derivada de é .
Portanto, a segunda derivada é:

Resposta

A derivada de ordem 2 da função é .

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