Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
a. y = x^2 - 2x + 1 no ponto P(-2,9).
b. y = x^3 - 4x^2 - 1 no ponto P(4,-1).
c. y = 3/(4 x - 2) no ponto P(4, 3 / 14).
d. y = sen^2(3x) no ponto P(pi/12, 1/2).
e. y = (x^2 - 1)^4 no ponto P(2,81).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a do exercício. A questão pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, determinar as equações das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando: . Sabemos que uma reta tangente a essa função em um ponto específico tem uma inclinação igual à derivada da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Agora, vamos substituir a coordenada na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto .
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equa��ão da reta:
Substituindo os valores:
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.

Passo 7

Usando a inclinação da reta normal e o ponto , aplicamos novamente a fórmula da equação da reta:
Portanto, a equação da reta normal é .

Resposta

As equações das retas são:
  • Tangente:
  • Normal:

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