Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
a.
no ponto
.
b.
no ponto
.
c.
no ponto
.
d.
no ponto
.
e.
no ponto
.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a do exercício. A questão pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, determinar as equações das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando:
. Sabemos que uma reta tangente a essa função em um ponto específico tem uma inclinação igual à derivada da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Agora, vamos substituir a coordenada
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
.
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equa��ão da reta:
Substituindo os valores:
Portanto, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Passo 7
Usando a inclinação da reta normal e o ponto
, aplicamos novamente a fórmula da equação da reta:
Portanto, a equação da reta normal é
.
Resposta
As equações das retas são:
- Tangente:
- Normal:
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