Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados: f(x) = 1/(1+x^2) no ponto P = (0, 1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de , que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. A função é:
Para derivar essa função, podemos reescrevê-la como e aplicar a regra do poder.

Passo 3

Aplicando a regra da derivada, temos:
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto é 0.

Passo 5

Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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