Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados:
no ponto
;
Passo 1
Então, temos o problema de encontrar as equações das retas tangentes à curva
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em pontos específicos de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A função dada é
. Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando-se,
, a derivada será
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
-
então -
então
Portanto, a derivadaé:
Passo 4
Agora, queremos a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Sabendo que a reta tangente passa pelo ponto
e tem inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais clara possível:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
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