Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados: no ponto ;

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar as equações das retas tangentes à curva da função no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é uma reta tangente e como usar derivadas para encontrar a inclinação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função seno hiperbólico, que é definida como:
Ela é útil em várias áreas, como matemática aplicada e física.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos saber a inclinação dela no ponto . Isso é dado pela derivada da função nesse ponto. Vamos calcular a derivada de :
Onde é o cosseno hiperbólico, definido por:

Passo 4

Vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto e tem inclinação 1. Podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Cálcule as derivadas das funções abaixo. ;
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Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados: no ponto ;
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