Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados: no ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas tangentes à curva no ponto . Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função e então usar essa informação para encontrar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é uma reta que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar a equação dessa reta, precisamos saber dois elementos:
  1. O ponto de tangência, que já é dado: .
  2. A inclinação da reta tangente nesse ponto.
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função no ponto de interesse. Então, vamos começar calculando a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Para funções exponenciais da forma , a derivada é .
No nosso caso, , então:
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta no formato ponto-inclinação, que é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la mais clara:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Cálcule as derivadas das funções abaixo.
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