Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados:
no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas tangentes à curva
no ponto
. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função e então usar essa informação para encontrar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é uma reta que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar a equação dessa reta, precisamos saber dois elementos:
- O ponto de tangência, que já é dado:
. - A inclinação da reta tangente nesse ponto.
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função no ponto de interesse. Então, vamos começar calculando a derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. Para funções exponenciais da forma
, a derivada é
.
No nosso caso,
, então:
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a equação da reta no formato ponto-inclinação, que é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para deixá-la mais clara:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
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no ponto
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no ponto
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Cálcule as derivadas das funções abaixo.
Cálcule as derivadas das funções abaixo.
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