Encontre as equações das retas tangentes às curvas nos pontos indicados: g(x) = sen(x) no ponto P = (pi / 4, raiz(2) / 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e depois montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto de uma curva tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar a inclinação, precisamos calcular a derivada da função .
A derivada de é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada no ponto . Isso vai nos dar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Distribuindo a inclinação:
Somando dos dois lados:
Fatorando :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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