Encontre as equaçös de onda para o campo elétrico e magnético utilizando as equaçōes de Maxwell ua sua forma diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações de onda para os campos elétrico ( ) e magnético ( ) usando as equações de Maxwell na forma diferencial. Então, vamos precisar lembrar das quatro equações de Maxwell e algumas propriedades do cálculo vetorial para chegar nas equações de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as equações de Maxwell em sua forma diferencial no vácuo (sem cargas nem correntes):
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
  3. Lei de Faraday da indução:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
Essas são as equações que vamos usar para derivar as equações de onda.

Passo 3

Vamos focar em encontrar a equação de onda para o campo elétrico . Para isso, vamos aplicar o operador rotacional ( ) na equação de Faraday:

Passo 4

Agora, usamos a identidade vetorial:
Mas da Lei de Gauss para , sabemos que . Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Substituímos pela Lei de Ampère-Maxwell:
Isso resulta em:

Passo 6

Arrumando os sinais, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:

Passo 7

Da mesma forma, para encontrar a equação de onda para o campo magnético , aplicamos o operador rotacional na Lei de Ampère-Maxwell:
Usamos a identidade vetorial novamente:
Como (Lei de Gauss para ) e (Lei de Faraday), substituímos:

Passo 8

Finalmente, reorganizando os termos, obtemos a equação de onda para o campo magnético:

Resposta

As equações de onda para os campos elétrico e magnético são:

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sāo soluçōes das equaçōes de onda para o campo elétrico e magnético.