Encontre as equaçös de onda para o campo elétrico e magnético utilizando as equaçōes de Maxwell ua sua forma diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações de onda para os campos elétrico ( ) e magnético ( ) usando as equações de Maxwell na forma diferencial. Então, vamos precisar lembrar das quatro equações de Maxwell e algumas propriedades do cálculo vetorial para chegar nas equações de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as equações de Maxwell em sua forma diferencial no vácuo (sem cargas nem correntes):
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico: nabla cdot E = 0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético: nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday da indução: nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell: nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Essas são as equações que vamos usar para derivar as equações de onda.

Passo 3

Vamos focar em encontrar a equação de onda para o campo elétrico nabla times (nabla times E) = nabla times ( -partial Bpartial t ) . Para isso, vamos aplicar o operador rotacional ( ) na equação de Faraday:

Passo 4

Agora, usamos a identidade vetorial:
nabla times (nabla times E) = nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
Mas da Lei de Gauss para -nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B) , sabemos que . Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Substituímos -nabla^2 E = -partialpartial t ( mu0 epsilon0 partial Epartial t ) pela Lei de Ampère-Maxwell:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Isso resulta em:

Passo 6

Arrumando os sinais, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:
nabla^2 E - mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 = 0

Passo 7

Da mesma forma, para encontrar a equação de onda para o campo magnético nabla times (nabla times B) = nabla times ( mu0 epsilon0 partial Epartial t ) , aplicamos o operador rotacional na Lei de Ampère-Maxwell:
nabla (nabla cdot B) - nabla^2 B = mu0 epsilon0 partialpartial t (nabla times E)
Usamos a identidade vetorial novamente:
-nabla^2 B = -mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2
Como (Lei de Gauss para ) e (Lei de Faraday), substituímos:

Passo 8

Finalmente, reorganizando os termos, obtemos a equação de onda para o campo magnético:
nabla^2 B - mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2 = 0

Resposta

As equações de onda para os campos elétrico e magnético são:
nabla^2 E - mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 = 0
nabla^2 B - mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2 = 0

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