Encontre as equaçös de onda para o campo elétrico e magnético utilizando as equaçōes de Maxwell ua sua forma diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações de onda para os campos elétrico (
) e magnético (
) usando as equações de Maxwell na forma diferencial. Então, vamos precisar lembrar das quatro equações de Maxwell e algumas propriedades do cálculo vetorial para chegar nas equações de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as equações de Maxwell em sua forma diferencial no vácuo (sem cargas nem correntes):
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Essas são as equações que vamos usar para derivar as equações de onda.
Passo 3
Vamos focar em encontrar a equação de onda para o campo elétrico
. Para isso, vamos aplicar o operador rotacional (
) na equação de Faraday:
Passo 4
Agora, usamos a identidade vetorial:
Mas da Lei de Gauss para
, sabemos que
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Substituímos
pela Lei de Ampère-Maxwell:
Isso resulta em:
Passo 6
Arrumando os sinais, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:
Passo 7
Da mesma forma, para encontrar a equação de onda para o campo magnético
, aplicamos o operador rotacional na Lei de Ampère-Maxwell:
Usamos a identidade vetorial novamente:
Como
(Lei de Gauss para
) e
(Lei de Faraday), substituímos:
Passo 8
Finalmente, reorganizando os termos, obtemos a equação de onda para o campo magnético:
Resposta
As equações de onda para os campos elétrico e magnético são: