Encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar e desenhar o domínio da função
. Isso significa que precisamos descobrir todos os pares
que fazem com que a função seja válida, ou seja, que não causem problemas como divisão por zero ou logaritmos de números não permitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de
e
para os quais a função está definida. No nosso caso, temos duas coisas para considerar:
-
O logaritmo: A função logaritmo,
, só está definida quando . Então, precisamos que . -
O denominador: Como estamos dividindo por
, o denominador não pode ser zero. Portanto, .
Passo 3
Vamos resolver a primeira condição:
.
Isso pode ser reescrito como:
Essa é a inequação de um círculo com raio 2 e centro na origem (0,0). Portanto, todos os pontos
que estão dentro desse círculo satisfazem essa condição.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição:
.
Sabemos que
. Então, queremos que:
Isso significa que os pontos que estão exatamente na circunferência de raio
não fazem parte do domínio, pois aí o denominador seria zero.
Passo 5
Juntando as duas condições:
-
(dentro do círculo de raio 2) -
(excluindo a circunferência de raio )
Portanto, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos dentro do círculo de raio 2, menos os pontos que estão exatamente na circunferência de raio
.
Resposta
O domínio da função
consiste em todos os pares
dentro do círculo de raio 2 e diferentes da circunferência de raio
. Em termos matemáticos:
Exercícios relacionados
Expanda as expressões.
.
Esboce a maior região na qual a função
é contínua.
a) ;
a)
Descreva a maior região na qual a função
é contínua.
b) .
b)
Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm , o comprimento está crescendo a uma taxa de
e a largura está crescendo a uma taxa de
. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de
.