Encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y) = 1 / ln(4 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar e desenhar o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir todos os pares que fazem com que a função seja válida, ou seja, que não causem problemas como divisão por zero ou logaritmos de números não permitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de e para os quais a função está definida. No nosso caso, temos duas coisas para considerar:
  1. O logaritmo: A função logaritmo, , só está definida quando . Então, precisamos que .
  2. O denominador: Como estamos dividindo por , o denominador não pode ser zero. Portanto, .

Passo 3

Vamos resolver a primeira condição: .
Isso pode ser reescrito como:
Essa é a inequação de um círculo com raio 2 e centro na origem (0,0). Portanto, todos os pontos que estão dentro desse círculo satisfazem essa condição.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: .
Sabemos que . Então, queremos que:
Isso significa que os pontos que estão exatamente na circunferência de raio não fazem parte do domínio, pois aí o denominador seria zero.

Passo 5

Juntando as duas condições:
  1. (dentro do círculo de raio 2)
  2. (excluindo a circunferência de raio )
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos dentro do círculo de raio 2, menos os pontos que estão exatamente na circunferência de raio .

Resposta

O domínio da função consiste em todos os pares dentro do círculo de raio 2 e diferentes da circunferência de raio . Em termos matemáticos:

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