Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm , o comprimento está crescendo a uma taxa de 3 cm/s e a largura está crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um retângulo cujo comprimento está aumentando e a largura também. Queremos descobrir a que velocidade a área desse retângulo está aumentando nesse exato momento. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de taxas relacionadas, que nos ajuda a relacionar como uma taxa de mudança em uma quantidade afeta outra quantidade relacionada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela largura:
Onde:
  • é a área,
  • é o comprimento,
  • é a largura.

Passo 3

Agora, queremos saber a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja, . Para encontrar isso, vamos derivar a equação da área em relação ao tempo usando a regra do produto:

Passo 4

Vamos substituir os valores que conhecemos no momento específico:
  • cm,
  • cm,
  • cm/s,
  • cm/s.
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, é só fazer as contas:

Resposta

A área do retângulo está crescendo a uma taxa de .

Exercícios relacionados

Descreva a maior região na qual a função f é contínua.
b) f(x, y, z) = (y + 1) / (x^2 + z^2 - 1).
Encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y) = 1 / ln(4 - x^2 - y^2)
Fatore as expressões.
x y z + 2 x y + 3 x.
Suponha que z=x / y, onde x e y são funções diferenciáveis de u e v tais que x=3, y=1, partial x / partial u=4, partial x / partial v=-2, partial y / partial u=1 e partial y / partial v=-1 quando u=2 e v=1. Se u=2 e v=1, então partial z / partial u= e partial z / partial v= cdot