Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm , o comprimento está crescendo a uma taxa de
e a largura está crescendo a uma taxa de
. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de
.
Passo 1
Beleza, então vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um retângulo cujo comprimento está aumentando e a largura também. Queremos descobrir a que velocidade a área desse retângulo está aumentando nesse exato momento. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de taxas relacionadas, que nos ajuda a relacionar como uma taxa de mudança em uma quantidade afeta outra quantidade relacionada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela largura:
Onde:
-
é a área, -
é o comprimento, -
é a largura.
Passo 3
Agora, queremos saber a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja,
. Para encontrar isso, vamos derivar a equação da área em relação ao tempo usando a regra do produto:
Passo 4
Vamos substituir os valores que conhecemos no momento específico:
-
cm, -
cm, -
cm/s, -
cm/s.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, é só fazer as contas:
Resposta
A área do retângulo está crescendo a uma taxa de
.
Exercícios relacionados
Descreva a maior região na qual a função
é contínua.
b) .
b)
Encontre e esboce o domínio para cada função.
Fatore as expressões.
.
Suponha que
, onde
e
são funções diferenciáveis de
e
tais que
e
quando
e
. Se
e
, então
e