Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm , o comprimento está crescendo a uma taxa de 3 cm/s e a largura está crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um retângulo cujo comprimento está aumentando e a largura também. Queremos descobrir a que velocidade a área desse retângulo está aumentando nesse exato momento. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de taxas relacionadas, que nos ajuda a relacionar como uma taxa de mudança em uma quantidade afeta outra quantidade relacionada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela largura:
Onde:
  • é a área,
  • é o comprimento,
  • é a largura.

Passo 3

Agora, queremos saber a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja, . Para encontrar isso, vamos derivar a equação da área em relação ao tempo usando a regra do produto:

Passo 4

Vamos substituir os valores que conhecemos no momento específico:
  • cm,
  • cm,
  • cm/s,
  • cm/s.
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, é só fazer as contas:

Resposta

A área do retângulo está crescendo a uma taxa de .

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