Encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar e desenhar o domínio da função
. Isso está dentro da área de funções de duas variáveis e envolve raízes quadradas. Para resolver isso, precisamos descobrir para quais valores de
e
a expressão dentro da raiz é válida, ou seja, não dá problema matemático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Isso significa que o produto
tem que ser positivo ou igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar as duas partes do produto separadamente:
Para cada uma delas, vamos descobrir quando são maiores ou iguais a zero, e quando são menores que zero.
Passo 4
Começando com
:
Então,
é positivo ou zero quando
ou
.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Assim,
é positivo ou zero quando
ou
.
Passo 6
Para que o produto
seja maior ou igual a zero, temos duas possibilidades:
-
Ambos são positivos ou iguais a zero:
-
ou - E
ou
-
-
Ambos são negativos ou iguais a zero:
-
- E
-
Passo 7
Então, o domínio é a união dessas duas situações. Em termos de conjunto, podemos escrever:
Passo 8
Para facilitar, vamos descrever o domínio em intervalos:
-
Primeira parte:
-
-
Segunda parte:
-
Passo 9
Agora, para esboçar o domínio, você pode imaginar o plano
dividido em regiões:
-
Regiões externas:
- Onde
e
- Onde
-
Região central:
- Onde
e
- Onde
Essas áreas representam todos os pontos onde a função está definida.
Resposta
O domínio da função
é dado por:
Isso significa que a função está definida nas regiões externas onde
e
, bem como na região central onde
e
.
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Encontre e esboce o domínio para cada função.
Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
.
Expanda as expressões.
.
Fatore as expressões.
.