Usando coordenadas cilíndricas, calcule I=integral triplaT(x^2+y^2) d V onde T é a região delimitada inferiormente pelo plano x y, superiormente pelo paraboloide z=x^2+y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas cilíndricas. A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é delimitada pelo plano na parte de baixo, pelo paraboloide em cima, e pelo cilindro lateralmente. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas simplificam bastante a integração em regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, temos , e . A área diferencial em coordenadas cilíndricas é . Além disso, . Então, nossa integral fica mais simples nessa forma.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. O cilindro lateral nos dá , ou seja, . Então, vai de 0 até . Para , como o cilindro é completo, vai de 0 a . Por fim, para , ele vai do plano ( ) até o paraboloide ( ). Então, vai de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla com esses limites:
I = integral0^2pi integral0^raiz2 integral0^r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, vem de e o extra é do diferencial de volume.

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em integral0^r^2 r^3 , dz = r^3 cdot z |0^r^2 = r^3 cdot r^2 = r^5 , depois em e por último em .
Integral em :

Passo 6

Agora, a integral fica:
I = integral0^2pi integral0^raiz2 r^5 , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em integral0^raiz2 r^5 , dr = r^66 |0^raiz2 = (raiz2)^66 = 86 = 43 :

Passo 7

Por fim, integramos em I = integral0^2pi 43 , dtheta = 43 cdot theta |0^2pi = 43 cdot 2pi = 8pi3 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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