Usando coordenadas cilíndricas, calcule onde é a região delimitada inferiormente pelo plano , superiormente pelo paraboloide e lateralmente pelo cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas cilíndricas. A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é delimitada pelo plano na parte de baixo, pelo paraboloide em cima, e pelo cilindro lateralmente. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas simplificam bastante a integração em regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, temos , e . A área diferencial em coordenadas cilíndricas é . Além disso, . Então, nossa integral fica mais simples nessa forma.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. O cilindro lateral nos dá , ou seja, . Então, vai de 0 até . Para , como o cilindro é completo, vai de 0 a . Por fim, para , ele vai do plano () até o paraboloide (). Então, vai de 0 a .
Passo 4
Vamos montar a integral tripla com esses limites:
Aqui, vem de e o extra é do diferencial de volume.
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em e por último em .
Integral em :
Passo 6
Agora, a integral fica:
I = integral0^2pi integral0^raiz2 r^5 , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em integral0^raiz2 r^5 , dr = r^66 |0^raiz2 = (raiz2)^66 = 86 = 43 :
Passo 7
Por fim, integramos em I = integral0^2pi 43 , dtheta = 43 cdot theta |0^2pi = 43 cdot 2pi = 8pi3 :