Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escolher quais partes da integral serão e para aplicar a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando a integral é um produto de duas funções e queremos simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Então, nosso objetivo é identificar qual parte da integral vai ser e qual vai ser .

Passo 3

Uma boa regra para escolher é usar a regra do LIATE, que prioriza: Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais. No nosso caso, é uma função inversa trigonométrica, então ela tem prioridade para ser .

Passo 4

Com isso, vamos definir:
E então, o que sobra da integral será nosso . Como temos apenas além de , temos:

Resposta

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Seja o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . Encontre o valor de para o qual .
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(b) Uma expressão integral para o volume de é
Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]
Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(b)