Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(b) Uma expressão integral para o volume de
é
(b) Uma expressão integral para o volume de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão integral para o volume de um sólido
que é formado ao girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e pela parábola
.
Vamos usar o método dos discos para calcular esse volume. Esse método é útil quando a região está sendo girada em torno de um eixo, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a reta
e a parábola
. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo essa equação para
:
Então, as soluções são
e
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos os limites de integração (
a
), vamos configurar a integral usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é a função superior e
a função inferior em relação ao eixo de rotação.
Passo 5
Identificando as funções:
- A reta
é a função superior entre e . - A parábola
é a função inferior.
Portanto, temos:
Resposta
A expressão integral para o volume de
é:
Exercícios relacionados
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)
Suponha que
seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)
(b)
Seja
o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
e
gira em torno do eixo
. Encontre o valor de
para o qual
.
Encontre escolhas apropriadas de
e de
para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
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