Um sólido S é gerado fazendo girar em torno do eixo x a região delimitada pela reta y = 2x + 1 e a curva y = x^2 + 1.
(b) Uma expressão integral para o volume de S é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão integral para o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e pela parábola .
Vamos usar o método dos discos para calcular esse volume. Esse método é útil quando a região está sendo girada em torno de um eixo, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola . Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo essa equação para :
Então, as soluções são e . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos os limites de integração ( a ), vamos configurar a integral usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a função superior e a função inferior em relação ao eixo de rotação.

Passo 5

Identificando as funções:
  • A reta é a função superior entre e .
  • A parábola é a função inferior.
Portanto, temos:

Resposta

A expressão integral para o volume de é:

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