Seja
o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
e
gira em torno do eixo
. Encontre o valor de
para o qual
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor de
que faz o volume
de um sólido de rotação ser igual a 3. Esse sólido é gerado quando a região limitada por
,
,
e
(com
) gira em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para o volume de um sólido de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o volume desse sólido. Quando a região gira em torno do eixo
, usamos a fórmula do disco:
Aqui,
é a função que está sendo rodada. A integral vai de
até
porque esses são os limites dados no problema.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
O valor de
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(b) Uma expressão integral para o volume de é
(b) Uma expressão integral para o volume de
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)
Encontre escolhas apropriadas de
e de
para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
©
©
Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por
e
gira em torno do eixo
. [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]