Seja o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . Encontre o valor de para o qual .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o valor de que faz o volume de um sólido de rotação ser igual a 3. Esse sólido é gerado quando a região limitada por , , e (com ) gira em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a fórmula para o volume de um sólido de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o volume desse sólido. Quando a região gira em torno do eixo , usamos a fórmula do disco:
Aqui, é a função que está sendo rodada. A integral vai de até porque esses são os limites dados no problema.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral:
Integrando :
Aplicando os limites:
Sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por :
Isolando :
Invertendo para encontrar :

Resposta

O valor de que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(b) Uma expressão integral para o volume de é
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
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Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]