Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por
e
gira em torno do eixo
. [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
gira em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Vamos igualar
e
:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
e
. Esses são os pontos de interseção das curvas.
Passo 3
Agora, vamos dividir a região em duas partes conforme a sugestão do exercício:
- De
a , a curva superior é . - De
a , a curva superior é .
Passo 4
Vamos utilizar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume
ao girar uma curva
em torno do eixo
é:
Passo 5
Primeira parte: de
a
com
:
Passo 6
Segunda parte: de
a
com
:
Primeiro, expandimos
:
Agora, calculamos o volume:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre escolhas apropriadas de
e de
para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
©
©
Seja
o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
e
gira em torno do eixo
. Encontre o valor de
para o qual
.
Encontre escolhas apropriadas de
e de
para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(b)
(b)
Encontre escolhas apropriadas de
e de
para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(d)
(d)