Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas , e gira em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Vamos igualar e :
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções: e . Esses são os pontos de interseção das curvas.

Passo 3

Agora, vamos dividir a região em duas partes conforme a sugestão do exercício:
  1. De a , a curva superior é .
  2. De a , a curva superior é .

Passo 4

Vamos utilizar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume ao girar uma curva em torno do eixo é:

Passo 5

Primeira parte: de a com :

Passo 6

Segunda parte: de a com :
Primeiro, expandimos :
Agora, calculamos o volume:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

Somando as duas partes:
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
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Seja o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . Encontre o valor de para o qual .
Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(b)
Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(d)