Encontre o espaço gerado pelo conjunto
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o espaço gerado pelo conjunto
. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao conceito de espaço gerado ou span de um conjunto de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa combinar vetores e verificar se eles são independentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado por
é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor
no espaço gerado pode ser escrito como:
onde
e
são números reais (escalars).
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores em
são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como um múltiplo escalar do outro. Olhando para
e
, vemos que não existe nenhum número
que satisfaça:
Porque isso implicaria que
para a primeira coordenada, mas então
na segunda coordenada. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como os vetores são linearmente independentes e estamos trabalhando em
(o plano), isso significa que eles geram todo o espaço
. Em outras palavras, qualquer vetor no plano pode ser alcançado combinando esses dois vetores de alguma forma.
Resposta
O espaço gerado pelo conjunto
é todo o
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Exercícios relacionados
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
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Seja
, o espaço vetorial de todas as matrizes
onde cada elemento
R. Mostre que
não é subespaço de
se:
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii) consiste de todas as matrizes P para as quais
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii)
Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.
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Verifique se
é combinação linear de
e
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e
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