Seja V=M(2,2), o espaço vetorial de todas as matrizes 2 x 2 onde cada elemento in R. Mostre que W não é subespaço de V se:
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii) W consiste de todas as matrizes P para as quais P^2=P

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolvê-la. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Queremos mostrar que não é um subespaço de nos seguintes casos:
  1. (i) consiste de todas as matrizes com determinante zero.
  2. (ii) consiste de todas as matrizes para as quais .
Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se cumpre essas condições em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre subespaços vetoriais. Para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz nula deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para cada caso.

Passo 3

Caso (i): A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1 consiste de todas as matrizes com determinante zero.

Teoria aplicada: O determinante de uma matriz é um número escalar que pode nos dizer várias propriedades sobre a matriz, como se ela é invertível. Matrizes com determinante zero não são invertíveis.
Verificação das condições:
  1. Matriz zero está em det(A) = 1 times 0 - 0 times 0 = 0 : A matriz zero tem determinante zero, então está em det(B) = 0 times 1 - 0 times 0 = 0 .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz A + B = 1 & 0 0 & 1 com determinante zero por um escalar det(A + B) = 1 times 1 - 0 times 0 = 1 neq 0 , o determinante de é . Então, também está em .
  3. Fechamento sob adição: Aqui está o problema. Vamos considerar duas matrizes e com determinantes zero. A soma pode não ter determinante zero.
Exemplo:
Seja
Ambas têm determinante zero:
Mas a soma:
Tem determinante:
Portanto, não está em , o que viola a condição de fechamento sob adição.

Passo 4

Caso (ii): (cP)^2 = cP times cP = c^2P^2 = c^2P consiste de todas as matrizes P = 1 & 0 0 & 0 , Q = 0 & 0 0 & 1 para as quais P + Q = 1 & 0 0 & 1 .

Teoria aplicada: Matrizes que satisfazem (P + Q)^2 = 1 & 0 0 & 1 ^2 = 1 & 0 0 & 1 = P + Q são chamadas de matrizes idempotentes. Essas matrizes têm propriedades especiais e são interessantes em várias áreas da matemática.
Verificação das condições:
  1. Matriz zero está em P = 1 & 1 0 & 0 , Q = 0 & 0 0 & 1 : A matriz zero satisfaz P^2 = 1 & 1 0 & 0 , Q^2 = 0 & 0 0 & 1 , então está em P + Q = 1 & 1 0 & 1 .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se (P + Q)^2 = 1 & 2 0 & 1 neq P + Q está em , então . Mas, para um escalar , queremos que . Calculando:
Para que , precisamos que . Isso é verdadeiro apenas para ou . Então, para outros escalar, não satisfaz , o que significa que não é fechado sob multiplicação por escalar.
  1. Fechamento sob adição: Mesmo que a multiplicação por escalar já falhe, podemos ver que a adição também pode não segurar. Por exemplo, considere:
Ambas satisfazem e , mas:
E:
Neste caso específico, a soma também satisfaz , mas isso não é geral. Por exemplo, escolha:
Aqui,
Mas:
E:
Então, não está em .

Resposta

Portanto, em ambos os casos (i) e (ii), não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço de . Assim, não é um subespaço de se:
  1. consiste de todas as matrizes com determinante zero;
  2. consiste de todas as matrizes para as quais .

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