Seja
, o espaço vetorial de todas as matrizes
onde cada elemento
R. Mostre que
não é subespaço de
se:
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii)
consiste de todas as matrizes P para as quais
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolvê-la. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Queremos mostrar que
não é um subespaço de
nos seguintes casos:
- (i)
consiste de todas as matrizes com determinante zero. - (ii)
consiste de todas as matrizes para as quais .
Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se
cumpre essas condições em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre subespaços vetoriais. Para
ser um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz nula deve estar em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para cada caso.
Passo 3
Caso (i):
consiste de todas as matrizes com determinante zero.
Teoria aplicada: O determinante de uma matriz é um número escalar que pode nos dizer várias propriedades sobre a matriz, como se ela é invertível. Matrizes com determinante zero não são invertíveis.
Verificação das condições:
-
Matriz zero está em
: A matriz zero tem determinante zero, então está em . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz
com determinante zero por um escalar , o determinante de é . Então, também está em . -
Fechamento sob adição: Aqui está o problema. Vamos considerar duas matrizes
e com determinantes zero. A soma pode não ter determinante zero.
Exemplo:
Seja
Seja
Ambas têm determinante zero:
Mas a soma:
Tem determinante:
Portanto,
não está em
, o que viola a condição de fechamento sob adição.
Passo 4
Caso (ii):
consiste de todas as matrizes
para as quais
.
Teoria aplicada: Matrizes que satisfazem
são chamadas de matrizes idempotentes. Essas matrizes têm propriedades especiais e são interessantes em várias áreas da matemática.
Verificação das condições:
-
Matriz zero está em
: A matriz zero satisfaz , então está em . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em , então . Mas, para um escalar , queremos que . Calculando:
Para que
, precisamos que
. Isso é verdadeiro apenas para
ou
. Então, para outros escalar,
não satisfaz
, o que significa que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
- Fechamento sob adição: Mesmo que a multiplicação por escalar já falhe, podemos ver que a adição também pode não segurar. Por exemplo, considere:
Ambas satisfazem
e
, mas:
E:
Neste caso específico, a soma também satisfaz
, mas isso não é geral. Por exemplo, escolha:
Aqui,
Mas:
E:
Então,
não está em
.
Resposta
Portanto, em ambos os casos (i) e (ii),
não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço de
. Assim,
não é um subespaço de
se:
-
consiste de todas as matrizes com determinante zero; -
consiste de todas as matrizes para as quais .
Exercícios relacionados
Um operador linear no
é definida pela matriz
. Determine u e
, tal que :
Seja a matriz
, determine : a imagem de
,
usando a matriz A.
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Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.