Verifique se w é combinação linear de u, v e w. m=(1,-1,2), u=(1,-1,0), v=(2,2,1) e w=(1,3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o vetor m = (1, -1, 2), u = (1, -1, 0), v = (2, 2, 1), w = (1, 3, 1) é uma combinação linear dos vetores , e . Aqui estão os vetores que temos:
Vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como testar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o que é uma combinação linear? Basicamente, dizer que um vetor a cdot u + b cdot v + c cdot w = w é uma combinação linear de outros vetores , e significa que podemos encontrar números (chamados de coeficientes) , e tais que:
Nosso objetivo é descobrir se existem valores para , e que tornam essa equação verdadeira.

Passo 3

Vamos escrever a equação com os valores dos vetores:
a cdot (1, -1, 0) + b cdot (2, 2, 1) + c cdot (1, 3, 1) = (1, 3, 1)
Isso resulta em três equações, uma para cada componente:
  1. Componente x:
a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 1 = 1
Ou seja:
a + 2b + c = 1 (Equação 1) çã
  1. Componente y:
a cdot (-1) + b cdot 2 + c cdot 3 = 3
Ou seja:
- a + 2b + 3c = 3 (Equação 2) çã
  1. Componente z:
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1 = 1
Ou seja:
b + c = 1 (Equação 3) çã

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar b + c = 1 Rightarrow c = 1 - b , a + 2b + (1 - b) = 1 Rightarrow a + b + 1 = 1 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow a = -b e -(-b) + 2b + 3(1 - b) = 3 Rightarrow b + 2b + 3 - 3b = 3 Rightarrow 0b + 3 = 3 .
Primeiro, da Equação 3:
3 = 3
Segundo, substituímos a = -0 = 0 na Equação 1:
c = 1 - 0 = 1
Terceiro, substituímos a = 0, b = 0, c = 1 e na Equação 2:
Isso simplifica para:
O que é verdade e não nos dá informação adicional sobre . Isso significa que temos infinitas soluções baseadas no valor de .
Por exemplo, se escolhermos :
Então, uma solução possível é:

Resposta

Sim, o vetor w = 0 cdot u + 0 cdot v + 1 cdot w é uma combinação linear dos vetores , e , especificamente:

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(-1,0),(0,0).
Encontre o espaço gerado pelo conjunto A. A=(1,1),(1,0).
Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,1),(-1,1).
Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(1,-1,1),(1,1,0),(2,0,1).