Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.
.
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um conjunto de vetores
e precisamos verificar se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, focando na ideia de combinação linear e independência de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos vetores
, então a combinação
implica que
.
Passo 3
Agora, aplicando isso ao nosso conjunto
, vamos verificar se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero
.
Passo 4
Escrevemos a combinação linear dos vetores de
:
Isso se traduz em duas equações:
Simplificando:
Passo 5
Da primeira equação, temos que
, ou seja,
. A segunda equação
é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional sobre
. Isso significa que
pode ser qualquer número real.
Passo 6
Então, encontramos uma combinação linear onde
e
pode ser diferente de zero. Por exemplo, se escolhermos
, teremos:
Aqui, mesmo com
, conseguimos obter o vetor zero. Isso é uma combinação linear não trivial.
Passo 7
A existência de uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero implica que os vetores do conjunto
são linearmente dependentes. Isso acontece porque o vetor
é o vetor nulo, que sempre introduz dependência linear quando presente em um conjunto.
Resposta
O conjunto
é Linearmente Dependente.
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Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
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.
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Verifique se
é combinação linear de
e
.
e
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Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.
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