Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. S=(-1,0),(0,0).

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um conjunto de vetores e precisamos verificar se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, focando na ideia de combinação linear e independência de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos vetores , então a combinação implica que .

Passo 3

Agora, aplicando isso ao nosso conjunto , vamos verificar se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero .

Passo 4

Escrevemos a combinação linear dos vetores de a cdot (-1, 0) + b cdot (0, 0) = (0, 0) :
- a + 0 cdot b = 0 0 cdot a + 0 cdot b = 0
Isso se traduz em duas equações:
- a = 0 0 = 0
Simplificando:

Passo 5

Da primeira equação, temos que , ou seja, . A segunda equação é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional sobre . Isso significa que pode ser qualquer número real.

Passo 6

Então, encontramos uma combinação linear onde 0 cdot (-1, 0) + 1 cdot (0, 0) = (0, 0) e pode ser diferente de zero. Por exemplo, se escolhermos , teremos:
Aqui, mesmo com , conseguimos obter o vetor zero. Isso é uma combinação linear não trivial.

Passo 7

A existência de uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero implica que os vetores do conjunto são linearmente dependentes. Isso acontece porque o vetor é o vetor nulo, que sempre introduz dependência linear quando presente em um conjunto.

Resposta

O conjunto é Linearmente Dependente.

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