Encontre o espaço gerado pelo conjunto
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o espaço gerado pelo conjunto
. Isso está dentro do estudo de Álgebra Linear, especificamente falando sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como quaisquer combinações desses vetores podem formar todo o espaço que eles geram.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Vamos escrever essa combinação linear de forma explícita:
Isso significa que qualquer vetor no espaço gerado por
tem essa forma:
.
Passo 4
Agora, vamos analisar as componentes desse vetor. Podemos definir variáveis para simplificar:
- Seja
- Seja
(igual a ) - Seja
- A última componente é sempre
Perceba que
, então a segunda componente é igual à primeira.
Passo 5
Com isso, podemos descrever o espaço gerado por
como todos os vetores
, onde
e
são números reais. Isso define um subespaço de
onde a segunda componente é igual à primeira e a quarta componente é zero.
Resposta
O espaço gerado pelo conjunto
é o conjunto de todos os vetores
com
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Exercícios relacionados
Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
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Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
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Verifique se
pertence ao subespaço vetorial
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e
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Verifique se o conjunto
é base do espaço vetorial
.
e
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