Verifique se u pertence ao subespaço vetorial V. u=(1,2,3,-1) e V=[(1,1,1,1),(1,2,0,0),(0,0,0,-1)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o vetor pertence ao subespaço vetorial . O subespaço é gerado pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações, para descobrir se está em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor pertencer a um subespaço vetorial. Um vetor u = a cdot (1,1,1,1) + b cdot (1,2,0,0) + c cdot (0,0,0,-1) está em se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores que geram . Ou seja, precisamos encontrar escalares tais que:

Passo 3

Agora, vamos montar as equações correspondentes a cada componente do vetor 1 = a + b + 0c 2 = a + 2b + 0c 3 = a + 0b + 0c -1 = a + 0b - c . Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos simplificar esse sistema. Observando a terceira equação:
3 = a
Então, já sabemos que .

Passo 5

Substituindo 1 = 3 + b Rightarrow b = 1 - 3 = -2 na primeira equação:
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos -1 = 3 - c Rightarrow -c = -1 - 3 Rightarrow c = 4 na quarta equação:
Portanto, .

Passo 7

Vamos verificar se esses valores atendem à segunda equação:
2 = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1
Isso não é igual a 2, então há uma inconsistência.

Passo 8

Como não conseguimos encontrar valores de que satisfaçam todas as equações simultaneamente, concluímos que o vetor não pertence ao subespaço .

Resposta

O vetor não pertence ao subespaço vetorial .

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Encontre o espaço gerado pelo conjunto A. A=(1,1,0,0),(1,1,1,0).
Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y, z) mid x-y+z=0 e V=R^3.
Verifique se o conjunto B é base do espaço vetorial V. B=(1,2),(3,1) e V=R^2.
Justifique, sem fazer contas, porque B não é base de V. B=(0,0,1),(1,0,0) e V=R^3.