Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y, z) mid x-y+z=0 e V=R^3.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos checar três coisas: se o vetor zero está em , se é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 - 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x1 - y1 + z1 = 0 e x2 - y2 + z2 = 0 é fechado para a adição de vetores. Suponha que temos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , (x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 - y1 + z1) + (x2 - y2 + z2) = 0 + 0 = 0 e , onde:
Vamos adicionar esses vetores:
Agora, vamos verificar se também satisfaz a equação de :
Portanto, a soma de dois vetores em também está em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se x - y + z = 0 é fechado para multiplicação por escalar. Seja cu = (cx, cy, cz) um vetor em (cx) - (cy) + (cz) = c(x - y + z) = c cdot 0 = 0 e um escalar qualquer. Então, temos:
Multiplicando o vetor por :
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Assim, o vetor resultante também pertence a .

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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