Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos checar três coisas: se o vetor zero está em
, se
é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para a adição de vetores. Suponha que temos dois vetores quaisquer em
,
e
, onde:
Vamos adicionar esses vetores:
Agora, vamos verificar se
também satisfaz a equação de
:
Portanto, a soma de dois vetores em
também está em
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Seja
um vetor em
e
um escalar qualquer. Então, temos:
Multiplicando o vetor por
:
Vamos verificar se
satisfaz a equação de
:
Assim, o vetor resultante também pertence a
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
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Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.
Verifique se
pertence ao subespaço vetorial
.
e
.