Verifique se o conjunto
é base do espaço vetorial
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
é uma base para o espaço vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas coisas: os vetores devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço. No caso, como estamos em
, precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear dos vetores em
. Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear
for
e
. Vamos montar as equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
→
Substituindo na segunda equação:
→
Então,
. Só tem a solução trivial, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como os vetores são linearmente independentes e temos exatamente dois vetores em
, eles também geram todo o espaço
. Isso porque qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.
Resposta
Sim, o conjunto
é uma base para o espaço vetorial
, pois os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.
Exercícios relacionados
Verifique se
pertence ao subespaço vetorial
.
e
.
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.
Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.