Verifique se o conjunto B é base do espaço vetorial V. B=(1,2),(3,1) e V=R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é uma base para o espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas coisas: os vetores devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço. No caso, como estamos em , precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear dos vetores em a cdot 1 + b cdot 3 = 0 a cdot 2 + b cdot 1 = 0 . Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear for e . Vamos montar as equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, . Só tem a solução trivial, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como os vetores são linearmente independentes e temos exatamente dois vetores em , eles também geram todo o espaço . Isso porque qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para o espaço vetorial , pois os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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