Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um subconjunto
de
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero.
- É fechado em relação à adição de vetores.
- É fechado em relação à multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Para esse vetor pertencer a
, ele precisa satisfazer a condição
.
Vamos substituir:
Então, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Como o primeiro critério já não é atendido, tecnicamente, já sabemos que
não é um subespaço. Mas para completar, vamos verificar os outros critérios.
Vamos testar a fechadura em relação à adição. Considere dois vetores quaisquer em
:
onde
e
.
A soma desses vetores é:
Somando as componentes:
Então, a soma de dois vetores em
não pertence a
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a fechadura em relação à multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer
em
e um escalar
.
Multiplicando
por
:
A soma das componentes é:
Para que
esteja em
, precisaríamos que
. Mas, para qualquer outro valor de
, isso não é verdade. Portanto, a multiplicação por escalar não preserva o conjunto
.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor zero, nem é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalares.
Exercícios relacionados
Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Verifique se os conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
.
e
.
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.