Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y) mid x+y=1 e V=R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um subconjunto de é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado em relação à adição de vetores.
  3. É fechado em relação à multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto 0 + 0 = 0 neq 1 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Para esse vetor pertencer a , ele precisa satisfazer a condição .
Vamos substituir:
Então, o vetor zero não está em .

Passo 3

Como o primeiro critério já não é atendido, tecnicamente, já sabemos que u = (x1, y1) não é um subespaço. Mas para completar, vamos verificar os outros critérios.
Vamos testar a fechadura em relação à adição. Considere dois vetores quaisquer em v = (x2, y2) :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
(x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 1 + 1 = 2 neq 1
onde e .
A soma desses vetores é:
Somando as componentes:
Então, a soma de dois vetores em não pertence a .

Passo 4

Por fim, vamos verificar a fechadura em relação à multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer cu = (c x, c y) em c x + c y = c(x + y) = c cdot 1 = c e um escalar .
Multiplicando por :
A soma das componentes é:
Para que esteja em , precisaríamos que . Mas, para qualquer outro valor de , isso não é verdade. Portanto, a multiplicação por escalar não preserva o conjunto .

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não contém o vetor zero, nem é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalares.

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y) mid x+y=0 e V=R^2.
Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 mid x1 cdot x2=0 e V=R^4.
Verifique se os conjuntos S abaixo são subespaços vetoriais de V. S=(x, y, z) mid x-y+z=0 e V=R^3.
Encontre o espaço gerado pelo conjunto A. A=(1,1,0,0),(1,1,1,0).