Encontre exemplos de funções tais que:
(b) é contínua em , mas é descontínua em e é descontínua em .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: encontrar exemplos de duas funções, e , e um ponto onde a composição é contínua em , mas é descontínua em e é descontínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e como a composição de funções funciona.
Passo 2
Vamos começar definindo a função . Queremos que seja descontínua em . Vamos escolher para facilitar. Definimos da seguinte forma:
Assim, tem um salto em , já que o limite quando se aproxima de 0 é 0, mas .
Passo 3
Agora, definimos a função de maneira que seja descontínua no ponto . Vamos definir da seguinte forma:
Aqui, é constante igual a 1 nos pontos 0 e 1, mas podemos ajustar para garantir a descontinuidade em 1, por exemplo, fazendo com que o limite próximo a 1 seja diferente do valor em 1.
Passo 4
Vamos agora analisar a composição :
Para :
Para :
Portanto, é uma função constante igual a 1 em todo o domínio, o que significa que é contínua em .
Resposta
Um exemplo que satisfaz as condições da questão é:
Com , temos que é contínua em , enquanto é descontínua em e é descontínua em .