Escreva o vetor
como combinação dos vetores:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos escrever o vetor zero em
, que é
, como uma combinação dos vetores
e
. Isso envolve conceitos de combinação linear na álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar dois números (que vamos chamar de
e
) que multiplicados pelos vetores
e
respectivamente, e depois somados, resultem no vetor zero. Ou seja:
Passo 3
Vamos substituir os vetores
e
na equação:
Quando multiplicamos escalarmente os vetores, ficamos com:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Observamos que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 3:
Isso significa que as duas equações são equivalentes e que temos infinitas soluções. Podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Escolhemos um valor para
para encontrar um par específico
. Vamos supor que
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na combinação linear para verificar:
Funciona!
Resposta
Uma combinação que satisfaz a condição é
e
. Portanto:
Exercícios relacionados
Encontre, se existir, uma matriz
que diagonalize
e calcule
.
Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
e , com as operações usuais.
e
Dados
e
e
vetores em
e
, mostre as seguintes propriedades:
Escreva o vetor
como combinação dos vetores:
e
.