Escreva o vetor como combinação dos vetores:
e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos escrever o vetor zero em , que é , como uma combinação dos vetores e . Isso envolve conceitos de combinação linear na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar dois números (que vamos chamar de e ) que multiplicados pelos vetores e respectivamente, e depois somados, resultem no vetor zero. Ou seja:

Passo 3

Vamos substituir os vetores e na equação:
Quando multiplicamos escalarmente os vetores, ficamos com:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Observamos que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 3:
Isso significa que as duas equações são equivalentes e que temos infinitas soluções. Podemos expressar em termos de :

Passo 6

Escolhemos um valor para para encontrar um par específico . Vamos supor que :

Passo 7

Agora, substituímos e na combinação linear para verificar:
Funciona!

Resposta

Uma combinação que satisfaz a condição é e . Portanto:

Exercícios relacionados

Encontre, se existir, uma matriz que diagonalize e calcule .
Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
e , com as operações usuais.
Dados e e vetores em e , mostre as seguintes propriedades:
Escreva o vetor como combinação dos vetores:
e .