Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
b)
b)
Passo 1
Beleza! Vamos lá: O exercício pede pra gente encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, pontos de máximo, pontos de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto
. Isso tá dentro da matéria de Análise Matemática, especificamente lidando com sequências e propriedades de conjuntos reais. Vamos precisar entender como esses números se comportam quando
cresce e aplicar conceitos como limites, supremum e ínfimo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como os elementos do conjunto
se comportam conforme
varia. Vamos calcular alguns valores para ter uma ideia:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Perceba que os termos estão alternando entre positivo e negativo, e se aproximando de 1 e -1 conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de acumulação. Um ponto de acumulação é um valor que pode ser “alcançado” por elementos do conjunto de forma infinita. Observando os valores que calculamos:
- Para números pares (
): se aproxima de 1, ficando cada vez mais perto sem nunca chegar exatamente a 1. - Para números ímpares (
): se aproxima de -1, da mesma forma.
Portanto, os pontos de acumulação são 1 e -1.
Passo 4
Vamos falar sobre supremo e ínfimo:
-
Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando
, os termos positivos se aproximam de 1, mas nunca excedem 1. Logo, o supremo é 1. -
Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Os termos negativos se aproximam de -1, mas nunca ficam abaixo de -1. Assim, o ínfimo é -1.
Passo 5
Por último, vamos verificar se existem pontos de máximo e mínimo:
-
Ponto de Máximo: Seria o maior elemento do conjunto. Contudo, como os termos positivos de
se aproximam de 1 sem nunca alcançá-lo, não existe ponto de máximo. -
Ponto de Mínimo: Seria o menor elemento do conjunto. Da mesma forma, os termos negativos se aproximam de -1 sem nunca atingir esse valor, então não existe ponto de mínimo.
Resposta
- Pontos de Acumulação: 1 e -1
- Ponto de Máximo: Não existe
- Ponto de Mínimo: Não existe
- Supremo: 1
- Ínfimo: -1
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Verifique que
é solução singular de
.
Verifique se
é solução para a EDO.
;
Encontre uma solução geral para a EDO.
;
Resp.
Resp.
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.