Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
b)

Passo 1

Beleza! Vamos lá: O exercício pede pra gente encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, pontos de máximo, pontos de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto . Isso tá dentro da matéria de Análise Matemática, especificamente lidando com sequências e propriedades de conjuntos reais. Vamos precisar entender como esses números se comportam quando cresce e aplicar conceitos como limites, supremum e ínfimo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como os elementos do conjunto se comportam conforme varia. Vamos calcular alguns valores para ter uma ideia:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Perceba que os termos estão alternando entre positivo e negativo, e se aproximando de 1 e -1 conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de acumulação. Um ponto de acumulação é um valor que pode ser “alcançado” por elementos do conjunto de forma infinita. Observando os valores que calculamos:
  • Para números pares ( ): se aproxima de 1, ficando cada vez mais perto sem nunca chegar exatamente a 1.
  • Para números ímpares ( ): se aproxima de -1, da mesma forma.
Portanto, os pontos de acumulação são 1 e -1.

Passo 4

Vamos falar sobre supremo e ínfimo:
  • Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando , os termos positivos se aproximam de 1, mas nunca excedem 1. Logo, o supremo é 1.
  • Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Os termos negativos se aproximam de -1, mas nunca ficam abaixo de -1. Assim, o ínfimo é -1.

Passo 5

Por último, vamos verificar se existem pontos de máximo e mínimo:
  • Ponto de Máximo: Seria o maior elemento do conjunto. Contudo, como os termos positivos de se aproximam de 1 sem nunca alcançá-lo, não existe ponto de máximo.
  • Ponto de Mínimo: Seria o menor elemento do conjunto. Da mesma forma, os termos negativos se aproximam de -1 sem nunca atingir esse valor, então não existe ponto de mínimo.

Resposta

  • Pontos de Acumulação: 1 e -1
  • Ponto de Máximo: Não existe
  • Ponto de Mínimo: Não existe
  • Supremo: 1
  • Ínfimo: -1

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