Encontre uma solução geral para a EDO. (y + e^y) y' + e^(-x) - x = 0;
Resp. -x^2 + y^2 + 2(e^y - e^(-x)) = c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como manipular elas para chegar numa forma que a gente consiga integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Temos:
Podemos reescrever isso isolando :
Assim:

Passo 3

Agora, percebemos que essa equação pode ser separada, ou seja, dá pra separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:

Passo 4

Perfeito! Agora temos duas integrais que podemos resolver separadamente:
Vamos resolver cada lado.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar juntando as constantes:
Onde é uma constante geral.

Passo 8

Multiplicando tudo por 2 para simplificar a expressão:
Podemos renomear simplesmente para , já que é uma constante arbitrária.

Passo 9

Então, a solução geral fica:
Ou rearranjando:

Resposta

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