Encontre uma solução geral para a EDO.
;
Resp.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como manipular elas para chegar numa forma que a gente consiga integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Temos:
Podemos reescrever isso isolando
:
Assim:
Passo 3
Agora, percebemos que essa equação pode ser separada, ou seja, dá pra separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Passo 4
Perfeito! Agora temos duas integrais que podemos resolver separadamente:
Vamos resolver cada lado.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, a integral do lado direito:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar juntando as constantes:
Onde
é uma constante geral.
Passo 8
Multiplicando tudo por 2 para simplificar a expressão:
Podemos renomear
simplesmente para
, já que é uma constante arbitrária.
Passo 9
Então, a solução geral fica:
Ou rearranjando:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
b)
b)
Verifique que
é solução singular de
.
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp.
ou
.