Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma integral para a gente analisar e explicar por que ela é imprópria. O conteúdo aqui é Cálculo Integral, e vamos precisar entender o que torna uma integral imprópria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é chamada assim quando tem alguma “parada” estranha, tipo:
  1. Limites de integração infinitos: quando uma das extremidades da integral vai até o infinito.
  2. Função não limitada no intervalo: quando a função que estamos integrando explode (fica sem limite) em algum ponto do intervalo.
Vamos ver qual dessas se aplica à nossa integral.

Passo 3

A integral que temos é:
Vamos analisar os limites de integração e a função dentro da integral.

Passo 4

Primeiro, olhamos para os limites de integração: o limite inferior é 1 e o limite superior é . Ter como limite superior já nos dá um indicativo de que a integral pode ser imprópria, porque estamos integrando até o infinito.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função tem algum ponto onde ela não está definida ou explode dentro do intervalo .
Para , é sempre maior que zero, então a função está bem definida e não explode em nenhum ponto desse intervalo.

Passo 6

Concluímos que a razão pela qual essa integral é imprópria é exclusivamente porque o limite de integração vai até o infinito. A função em si está bem comportada no intervalo.

Resposta

A integral é imprópria porque o limite superior de integração é infinito.

Exercícios relacionados

Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
b)
Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp. ou .
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)