Verifique que é solução singular de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: Verificar que é solução singular da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente sobre soluções singulares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são soluções gerais e singulares, além de saber verificar se uma função é realmente uma solução da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução de uma equação diferencial. Uma solução é uma função que, ao ser substituída na equação, satisfaz a igualdade. No nosso caso, queremos descobrir se satisfaz a equação .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de uma constante é zero, então:
Agora, vamos substituir e na equação diferencial:
Essa igualdade é verdadeira, o que mostra que é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre soluções singulares. Em geral, para uma equação diferencial de primeira ordem, a solução geral envolve uma constante arbitrária . No entanto, uma solução singular é uma solução que não pode ser obtida através da atribuição de algum valor específico para na solução geral.

Passo 5

Vamos encontrar a solução geral da equação . Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Essa é a solução geral, onde é uma constante arbitrária.

Passo 6

Observando a solução geral , percebemos que para qualquer valor de , nunca será zero. Ou seja, a solução não pode ser obtida através de nenhum valor de na solução geral. Isso caracteriza como uma solução singular.

Resposta

Portanto, é de fato uma solução singular da equação diferencial .

Exercícios relacionados

Verifique se é solução para a EDO. ;
Verifique que é solução para a EDO. .
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
b)
Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.