Verifique que
é solução singular de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: Verificar que
é solução singular da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente sobre soluções singulares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são soluções gerais e singulares, além de saber verificar se uma função é realmente uma solução da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução de uma equação diferencial. Uma solução é uma função que, ao ser substituída na equação, satisfaz a igualdade. No nosso caso, queremos descobrir se
satisfaz a equação
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma constante é zero, então:
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Essa igualdade é verdadeira, o que mostra que
é uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre soluções singulares. Em geral, para uma equação diferencial de primeira ordem, a solução geral envolve uma constante arbitrária
. No entanto, uma solução singular é uma solução que não pode ser obtida através da atribuição de algum valor específico para
na solução geral.
Passo 5
Vamos encontrar a solução geral da equação
. Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Essa é a solução geral, onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Observando a solução geral
, percebemos que para qualquer valor de
,
nunca será zero. Ou seja, a solução
não pode ser obtida através de nenhum valor de
na solução geral. Isso caracteriza
como uma solução singular.
Resposta
Portanto,
é de fato uma solução singular da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Verifique se
é solução para a EDO.
;
Verifique que
é solução para a EDO.
.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
b)
b)
Encontre uma solução geral para a EDO.
;
Resp.
Resp.