Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar, se existirem, o ponto de acumulação, os pontos de máximo e mínimo, além do supremo e ínfimo do conjunto
.
Aqui, estamos lidando com conceitos de análise real, como ponto de acumulação, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Vamos precisar entender o que cada um desses termos significa para aplicar corretamente no conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos do conjunto
. A expressão
com
gera os valores alternados entre -1 e 1 dependendo se
é par ou ímpar.
Então, se listarmos alguns termos:
- Para
, - Para
, - Para
, - E assim por diante…
Portanto, o conjunto
é composto pelos dois elementos:
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ponto de acumulação. Um ponto
é chamado de ponto de acumulação de um conjunto
se, em toda vizinhança de
, existem pontos de
diferentes de
.
No nosso conjunto
, temos apenas dois pontos isolados. Não há pontos em torno de -1 ou 1 que contenham outros pontos de
além dos próprios -1 e 1. Portanto, não existem pontos de acumulação em
.
Passo 4
Vamos agora identificar o ponto de máximo e o ponto de mínimo do conjunto.
-
Ponto de Máximo: É o maior valor no conjunto. No
, o maior número é . -
Ponto de Mínimo: É o menor valor no conjunto. Aqui, o menor número é
.
Então, o ponto de máximo é 1 e o ponto de mínimo é -1.
Passo 5
Passando para o supremo e o ínfimo do conjunto
.
-
Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Como o maior elemento em
é 1, o supremo de é . -
Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. O menor elemento em
é , então o ínfimo de é .
Resposta
Para o conjunto
:
- Ponto de acumulação: Não existe.
- Ponto de máximo:
. - Ponto de mínimo:
. - Supremo:
. - Ínfimo:
.
Exercícios relacionados
Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp.
ou
.
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)
b)
Encontre uma solução geral para a EDO.
;
Resp.
Resp.