Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar, se existirem, o ponto de acumulação, os pontos de máximo e mínimo, além do supremo e ínfimo do conjunto .
Aqui, estamos lidando com conceitos de análise real, como ponto de acumulação, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Vamos precisar entender o que cada um desses termos significa para aplicar corretamente no conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos do conjunto . A expressão com gera os valores alternados entre -1 e 1 dependendo se é par ou ímpar.
Então, se listarmos alguns termos:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • E assim por diante…
Portanto, o conjunto é composto pelos dois elementos: .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ponto de acumulação. Um ponto é chamado de ponto de acumulação de um conjunto se, em toda vizinhança de , existem pontos de diferentes de .
No nosso conjunto , temos apenas dois pontos isolados. Não há pontos em torno de -1 ou 1 que contenham outros pontos de além dos próprios -1 e 1. Portanto, não existem pontos de acumulação em .

Passo 4

Vamos agora identificar o ponto de máximo e o ponto de mínimo do conjunto.
  • Ponto de Máximo: É o maior valor no conjunto. No , o maior número é .
  • Ponto de Mínimo: É o menor valor no conjunto. Aqui, o menor número é .
Então, o ponto de máximo é 1 e o ponto de mínimo é -1.

Passo 5

Passando para o supremo e o ínfimo do conjunto .
  • Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Como o maior elemento em é 1, o supremo de é .
  • Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. O menor elemento em é , então o ínfimo de é .

Resposta

Para o conjunto :
  • Ponto de acumulação: Não existe.
  • Ponto de máximo: .
  • Ponto de mínimo: .
  • Supremo: .
  • Ínfimo: .

Exercícios relacionados

Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp. ou .
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)
Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.