Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp. ou .

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução seja a família de circunferências com raio 4 e centro no eixo OX. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especialmente derivadas. Precisaremos determinar como as equações das circunferências se relacionam com a EDO que estamos buscando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência. Uma circunferência com raio 4 e centro no eixo OX pode ser escrita como:
Aqui, representa a posição do centro no eixo OX. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para obter uma EDO que envolva apenas e suas derivadas em relação a .

Passo 3

Vamos diferenciar a equação da circunferência em relação a . Aplicando a derivada:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, precisamos eliminar o parâmetro . Podemos resolver a equação original para :
Isolando :
Podemos escolher o sinal negativo para combinar com a equação que obtivemos após a derivação:

Passo 5

Substituindo na equação derivada:
Simplificando os sinais:
Rearranjando para deixar a equação em termos de e suas derivadas:

Passo 6

Podemos também diferenciar novamente a equação derivada para obter uma segunda ordem de derivação. Diferenciando em relação a :
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Substituindo da equação anterior:

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária que tem como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX é:
ou

Exercícios relacionados

Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)