Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp.
ou
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução seja a família de circunferências com raio 4 e centro no eixo OX. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especialmente derivadas. Precisaremos determinar como as equações das circunferências se relacionam com a EDO que estamos buscando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência. Uma circunferência com raio 4 e centro no eixo OX pode ser escrita como:
Aqui,
representa a posição do centro no eixo OX. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para obter uma EDO que envolva apenas
e suas derivadas em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar a equação da circunferência em relação a
. Aplicando a derivada:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, precisamos eliminar o parâmetro
. Podemos resolver a equação original para
:
Isolando
:
Podemos escolher o sinal negativo para combinar com a equação que obtivemos após a derivação:
Passo 5
Substituindo
na equação derivada:
Simplificando os sinais:
Rearranjando para deixar a equação em termos de
e suas derivadas:
Passo 6
Podemos também diferenciar novamente a equação derivada para obter uma segunda ordem de derivação. Diferenciando
em relação a
:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Substituindo
da equação anterior:
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária que tem como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX é:
ou
Exercícios relacionados
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Encontre uma solução geral para a EDO.
;
Resp.
Resp.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)
a)
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)
b)