Encontre uma solução geral para a EDO. y' + (1 + y^3) / (x * y^2 * (1 + x^2)) = 0;
Resp. x^6(1+y^3)^2/(1+x^2)^3 = c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis ou encontrar um fator integrante adequado. Vamos passo a passo descobrir qual método usar e aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Isso ajuda a visualizar melhor como as variáveis e estão relacionadas.

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para simplificar:
Agora, temos de um lado e uma expressão que envolve apenas do outro.

Passo 4

Vamos observar que a equação pode ser rearranjada para separar as variáveis:
Mas ainda assim, está um pouco complicado. Vamos tentar simplificar a expressão envolvendo .

Passo 5

Perceba que pode ser fatorado como , mas isso não ajuda muito. Vamos manter a expressão como está e procurar integrar ambos os lados.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, temos uma relação mais clara entre e que podemos tentar integrar.

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
Aqui, estamos integrando em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito.

Passo 8

Integrando o lado esquerdo:
Como é a variável de integração, tratamos como uma constante. Então, temos:
E integrando o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Igualando as integrações:
Podemos simplificar essa equação para isolar .

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:

Passo 11

Fatorando e :
Isso nos leva a uma expressão mais organizada para a solução geral.

Passo 12

Finalmente, resolver para nos dá a solução geral:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados