Encontre uma solução geral para a EDO.
;
Resp.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis ou encontrar um fator integrante adequado. Vamos passo a passo descobrir qual método usar e aplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Isso ajuda a visualizar melhor como as variáveis
e
estão relacionadas.
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para simplificar:
Agora, temos
de um lado e uma expressão que envolve apenas
do outro.
Passo 4
Vamos observar que a equação pode ser rearranjada para separar as variáveis:
Mas ainda assim, está um pouco complicado. Vamos tentar simplificar a expressão envolvendo
.
Passo 5
Perceba que
pode ser fatorado como
, mas isso não ajuda muito. Vamos manter a expressão como está e procurar integrar ambos os lados.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Agora, temos uma relação mais clara entre
e
que podemos tentar integrar.
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
Aqui, estamos integrando em relação a
do lado esquerdo e em relação a
do lado direito.
Passo 8
Integrando o lado esquerdo:
Como
é a variável de integração, tratamos
como uma constante. Então, temos:
E integrando o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Igualando as integrações:
Podemos simplificar essa equação para isolar
.
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:
Passo 11
Fatorando
e
:
Isso nos leva a uma expressão mais organizada para a solução geral.
Passo 12
Finalmente, resolver para
nos dá a solução geral:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)
b)
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)
a)
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
c)
c)
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
.