Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . Isso está ligado ao conceito de funções ortogonais, que basicamente significa que, nesse intervalo, o “produto interno” das duas funções é zero. Para provar isso, vamos precisar calcular a integral do produto das duas funções nesse intervalo e verificar se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais. Duas funções e são ortogonais no intervalo se:
Então, no nosso caso, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando por cada termo dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral:
Avaliei de 0 a 2:

Resposta

Como a integral do produto das funções e no intervalo é igual a zero, concluímos que as funções são ortogonais nesse intervalo.

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Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
a)
Obter EDO que tenha como solução a família de circunferências de raio 4 com centro no eixo OX. Resp. ou .
Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
c)