Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b) f1(x)=e^x, f2(x)=x e^(-x)-e^(-x), [0,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . Isso está ligado ao conceito de funções ortogonais, que basicamente significa que, nesse intervalo, o “produto interno” das duas funções é zero. Para provar isso, vamos precisar calcular a integral do produto das duas funções nesse intervalo e verificar se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais. Duas funções e são ortogonais no intervalo se:
Então, no nosso caso, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando por cada termo dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral:
Avaliei de 0 a 2:

Resposta

Como a integral do produto das funções e no intervalo é igual a zero, concluímos que as funções são ortogonais nesse intervalo.

Exercícios relacionados