Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto
. Nosso objetivo é encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, pontos de máximo e mínimo, além do supremo e ínfimo desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender como se comporta a sequência definida por
.
Passo 2
Vamos analisar os termos da sequência
. Observe que
alterna o sinal do termo a cada
. Já a fração
se aproxima de 1 conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos separar a análise para
par e
ímpar:
- Quando
é par, , então . - Quando
é ímpar, , então .
Isso significa que a sequência oscila entre valores positivos e negativos, aproximando-se de 1 e -1, respectivamente.
Passo 4
Ponto de acumulação: Um ponto de acumulação é um valor que a sequência se aproxima infinitamente. Aqui, a sequência tem dois pontos de acumulação: 1 e -1, já que
tende a 1 e
tende a -1 conforme
cresce.
Ponto de máximo e mínimo: Observando a sequência, os termos positivos estão crescendo em direção a 1, mas nunca excedem 1. Os termos negativos estão decrescendo em direção a -1, mas nunca são menores que -1. Portanto:
- O ponto de máximo é 1.
- O ponto de mínimo é -1.
Supremo e ínfimo:
- O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Aqui, o supremo é 1.
- O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Neste caso, o ínfimo é -1.
Resposta
O conjunto
possui dois pontos de acumulação: 1 e -1. O ponto de máximo é 1 e o ponto de mínimo é -1. O supremo de
é 1 e o ínfimo é -1.
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;
Resp.
Resp.
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b)
b)
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; em torno de
.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
d)
d)