Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto . Nosso objetivo é encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, pontos de máximo e mínimo, além do supremo e ínfimo desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender como se comporta a sequência definida por .

Passo 2

Vamos analisar os termos da sequência . Observe que alterna o sinal do termo a cada . Já a fração se aproxima de 1 conforme aumenta.

Passo 3

Vamos separar a análise para par e ímpar:
  • Quando é par, , então .
  • Quando é ímpar, , então .
Isso significa que a sequência oscila entre valores positivos e negativos, aproximando-se de 1 e -1, respectivamente.

Passo 4

Ponto de acumulação: Um ponto de acumulação é um valor que a sequência se aproxima infinitamente. Aqui, a sequência tem dois pontos de acumulação: 1 e -1, já que tende a 1 e tende a -1 conforme cresce.
Ponto de máximo e mínimo: Observando a sequência, os termos positivos estão crescendo em direção a 1, mas nunca excedem 1. Os termos negativos estão decrescendo em direção a -1, mas nunca são menores que -1. Portanto:
  • O ponto de máximo é 1.
  • O ponto de mínimo é -1.
Supremo e ínfimo:
  • O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Aqui, o supremo é 1.
  • O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Neste caso, o ínfimo é -1.

Resposta

O conjunto possui dois pontos de acumulação: 1 e -1. O ponto de máximo é 1 e o ponto de mínimo é -1. O supremo de é 1 e o ínfimo é -1.

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Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
b)
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de .
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
d)