Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. ; em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método das cascas cilíndricas. Imagine que a região que vamos girar está dividida em "cascas" verticais, como cascas de cebola. Cada casca, quando girada em torno do eixo , forma uma casca cilíndrica. A fórmula para o volume de cada casca é: Aqui, o raio é a distância da casca ao eixo de rotação, a altura é a função , e a espessura é um pequeno aumento em , representado por .

Passo 3

Vamos identificar o raio de cada casca. Como estamos girando em torno de , e cada casca está localizada em um ponto , a distância do eixo de rotação é:

Passo 4

A altura de cada casca é dada pela função . Então, a altura de cada casca é simplesmente .

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume das cascas: Aqui, é o volume de uma casca infinitesimal.

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos de a :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Avaliando a integral nos limites de 0 a 1:

Passo 10

Calculando a diferença:

Passo 11

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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