Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método das cascas cilíndricas. Imagine que a região que vamos girar está dividida em “cascas” verticais, como cascas de cebola. Cada casca, quando girada em torno do eixo
, forma uma casca cilíndrica. A fórmula para o volume de cada casca é:
Aqui, o raio é a distância da casca ao eixo de rotação, a altura é a função
, e a espessura é um pequeno aumento em
, representado por
.
Passo 3
Vamos identificar o raio de cada casca. Como estamos girando em torno de
, e cada casca está localizada em um ponto
, a distância do eixo de rotação é:
Passo 4
A altura de cada casca é dada pela função
. Então, a altura de cada casca é simplesmente
.
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume das cascas:
Aqui,
é o volume de uma casca infinitesimal.
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos
de
a
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Avaliando a integral nos limites de 0 a 1:
Passo 10
Calculando a diferença:
Passo 11
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.