Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem o conjunto
. Isso significa que
é o conjunto de todos os números racionais cujos quadrados são menores ou iguais a 2. Nosso objetivo é encontrar se existem pontos de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números racionais, limites e conceitos de máxima e mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o conjunto
. Como
, temos que
. Mas atenção:
não é um número racional, então
inclui todos os racionais entre
e
, mas sem incluir esses extremos porque eles não são racionais.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é um número onde, não importa quão perto você queira estar, sempre vai ter outros números do conjunto perto desse ponto. No caso de
, como entre quaisquer dois racionais existe sempre outro racional, qualquer número entre
e
é um ponto de acumulação para
.
Passo 4
Sobre o ponto de máximo e o ponto de mínimo, precisamos verificar se existem os maiores e menores elementos no conjunto
. Porém, como
e
não são racionais, não há nenhum número racional que seja o maior ou o menor de
. Ou seja,
não tem ponto de máximo nem ponto de mínimo.
Passo 5
Vamos agora para o supremo e o ínfimo. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Mesmo que
e
não estejam em
, eles ainda são o supremo e ínfimo de
respectivamente, já que nenhum número racional em
ultrapassa esses valores.
Resposta
O conjunto
tem como pontos de acumulação todos os números reais em
. Não existe ponto de máximo nem ponto de mínimo no conjunto. O supremo de
é
e o ínfimo é
.
Exercícios relacionados
Verifique se
é solução para a EDO.
;
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
j)
j)
Verifique que uma solução implícita para a EDO
é dada pela equação
.
Dê um exemplo
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.