Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
n)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem o conjunto . Isso significa que é o conjunto de todos os números racionais cujos quadrados são menores ou iguais a 2. Nosso objetivo é encontrar se existem pontos de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números racionais, limites e conceitos de máxima e mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o conjunto . Como , temos que . Mas atenção: não é um número racional, então inclui todos os racionais entre e , mas sem incluir esses extremos porque eles não são racionais.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre pontos de acumulação. Um ponto de acumulação de um conjunto é um número onde, não importa quão perto você queira estar, sempre vai ter outros números do conjunto perto desse ponto. No caso de , como entre quaisquer dois racionais existe sempre outro racional, qualquer número entre e é um ponto de acumulação para .

Passo 4

Sobre o ponto de máximo e o ponto de mínimo, precisamos verificar se existem os maiores e menores elementos no conjunto . Porém, como e não são racionais, não há nenhum número racional que seja o maior ou o menor de . Ou seja, não tem ponto de máximo nem ponto de mínimo.

Passo 5

Vamos agora para o supremo e o ínfimo. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Mesmo que e não estejam em , eles ainda são o supremo e ínfimo de respectivamente, já que nenhum número racional em ultrapassa esses valores.

Resposta

O conjunto tem como pontos de acumulação todos os números reais em . Não existe ponto de máximo nem ponto de mínimo no conjunto. O supremo de é e o ínfimo é .

Exercícios relacionados

Verifique se é solução para a EDO. ;
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
j)
Verifique que uma solução implícita para a EDO é dada pela equação .
Dê um exemplo
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.