Verifique que uma solução implícita para a EDO
é dada pela equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede pra verificar se a equação implícita
é realmente uma solução da EDO dada: . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar fazer derivadas e substituir na EDO original para ver se a igualdade bate certinha.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação implícita
em relação a
. Lembre-se que
é uma constante, então sua derivada é zero. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia onde precisar.
Passo 3
Diferenciando cada termo:
- A derivada de
é (usando a regra do produto). - A derivada de
é (novamente, regra do produto e da cadeia). - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada total fica:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos com
:
Passo 5
Observamos que a expressão que obtivemos após a diferenciação é exatamente a EDO original:
Isso significa que, ao substituir nossa solução implícita na EDO, a igualdade se mantém verdadeira.
Resposta
Sim, a equação
é uma solução implícita da EDO dada.
Exercícios relacionados
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
n)
n)
Verifique se
é solução para a EDO.
;
Dê um exemplo
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.
Seja
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Dê exemplos de conjuntos
tais que:
a) e
são distintos
a)