Verifique que uma solução implícita para a EDO é dada pela equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede pra verificar se a equação implícita é realmente uma solução da EDO dada: . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar fazer derivadas e substituir na EDO original para ver se a igualdade bate certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação implícita em relação a . Lembre-se que é uma constante, então sua derivada é zero. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia onde precisar.

Passo 3

Diferenciando cada termo:
  • A derivada de é (usando a regra do produto).
  • A derivada de é (novamente, regra do produto e da cadeia).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a derivada total fica:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos com :

Passo 5

Observamos que a expressão que obtivemos após a diferenciação é exatamente a EDO original:
Isso significa que, ao substituir nossa solução implícita na EDO, a igualdade se mantém verdadeira.

Resposta

Sim, a equação é uma solução implícita da EDO dada.

Exercícios relacionados

Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
n)
Verifique se é solução para a EDO. ;
Dê um exemplo
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.
Seja o conjunto dos pontos de acumulação de . Dê exemplos de conjuntos tais que:
a) e são distintos