Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período . .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica com período , definida por:
O objetivo é encontrar a expansão dessa função em uma série de Fourier. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, que envolvem calcular os coeficientes da série que representa a função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a simplificar a série de Fourier. Uma função é par se e ímpar se .
Observando a nossa função:
Isso mostra que é uma função par.

Passo 3

Por ser uma função par, a série de Fourier dela só terá termos de cosseno (não tem termos senoidais). A série geral fica:
Como , temos . Então, a série simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Como a função é par, podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Calculando a primeira integral:
Pois para todo inteiro .

Passo 7

Agora, calculando a segunda integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Como :

Passo 8

Substituindo de volta no cálculo de :
Isso mostra que é zero para par e não zero para ímpar.

Passo 9

Finalmente, a expansão em série de Fourier da função é:
Podemos simplificar indicando que a soma ocorre apenas para ímpar:

Resposta

A expansão em série de Fourier da função é:

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Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período . , se .
Encontre e esboce o domínio da função abaixo: