Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período T = 2 L. f(x) = |x|, se pi <= x < pi, f(x + 2 pi) = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em série de Fourier da função periódica com período . Isso significa que vamos expressar como uma soma de funções trigonométricas (seno e cosseno). Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função com período é dada por:
Como a função é uma função par (isto é, ), os coeficientes vão ser zero. Então, nossa série vai ficar só com os cossenos:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Como , a gente pode simplificar integrando de 0 a e multiplicando por 2 (pela simetria):

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
De novo, usando a simetria da função, podemos integrar de 0 a e multiplicar por 2:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes. Seja e . Então, e . Aplicando a fórmula:
Avaliado de 0 a :
Portanto:
í
Simplificando:
í

Resposta

A expansão em série de Fourier da função com período é:

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