Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em série de Fourier da função periódica
com período
. Isso significa que vamos expressar
como uma soma de funções trigonométricas (seno e cosseno). Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função com período
é dada por:
Como a função
é uma função par (isto é,
), os coeficientes
vão ser zero. Então, nossa série vai ficar só com os cossenos:
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Como
, a gente pode simplificar integrando de 0 a
e multiplicando por 2 (pela simetria):
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
De novo, usando a simetria da função, podemos integrar de 0 a
e multiplicar por 2:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula:
Avaliado de 0 a
:
Portanto:
Simplificando:
Resposta
A expansão em série de Fourier da função
com período
é:
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Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
.
Questões de cálculo de área: Calcule a área entre as curvas
e
no intervalo
. Dica: Primeiro, encontre o ponto de interseção das curvas, divida o intervalo, e depois calcule a área separadamente em cada região.
Encontre e esboce o domínio da função abaixo:
Calcule as derivadas implícitas indicadas: