Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os testes de comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como comparar essa série com uma que a gente já sabe se ela soma ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Podemos simplificar isso um pouco dividindo numerador e denominador por
:
À medida que
cresce,
fica bem pequeno, então o termo é aproximadamente
.
Passo 3
Sabemos que a série geométrica
converge porque a razão
é menor que 1. Isso é importante porque vamos comparar nossa série original com essa série geométrica.
Passo 4
Agora, vamos fazer a comparação. Sabemos que para todo
:
Ou seja, cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica que já sabemos que converge.
Passo 5
Como a série geométrica
converge e os termos da nossa série original são menores ou iguais a esses termos, pelo Teste de Comparação, podemos concluir que a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
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