Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty n-1n 4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os testes de comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como comparar essa série com uma que a gente já sabe se ela soma ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: n-1n cdot 4^n = 1 - 1n4^n . Podemos simplificar isso um pouco dividindo numerador e denominador por :
À medida que cresce, fica bem pequeno, então o termo é aproximadamente .

Passo 3

Sabemos que a série geométrica converge porque a razão é menor que 1. Isso é importante porque vamos comparar nossa série original com essa série geométrica.

Passo 4

Agora, vamos fazer a comparação. Sabemos que para todo n-1n cdot 4^n <= nn cdot 4^n = 14^n :
Ou seja, cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica que já sabemos que converge.

Passo 5

Como a série geométrica converge e os termos da nossa série original são menores ou iguais a esses termos, pelo Teste de Comparação, podemos concluir que a nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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