Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.

Passo 1

Vamos analisar a série infinita usando o Teste de Comparação no Limite. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a comparação:
À medida que aumenta, se aproxima de zero, então o termo se comporta de forma semelhante a .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica , que sabemos que diverge. A série harmônica é uma escolha comum para comparação porque seu comportamento de convergência ou divergência é bem conhecido.

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando o limite:

Passo 5

Como o limite calculado é , que é um número finito e diferente de zero, o Teste de Comparação no Limite nos diz que ambas as séries se comportam da mesma maneira em termos de convergência.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.