Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Vamos analisar a série infinita
usando o Teste de Comparação no Limite. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a comparação:
À medida que
aumenta,
se aproxima de zero, então o termo
se comporta de forma semelhante a
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica
, que sabemos que diverge. A série harmônica é uma escolha comum para comparação porque seu comportamento de convergência ou divergência é bem conhecido.
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando o limite:
Passo 5
Como o limite calculado é
, que é um número finito e diferente de zero, o Teste de Comparação no Limite nos diz que ambas as séries se comportam da mesma maneira em termos de convergência.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.