Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem. sumn=1^infty 19 n+6

Passo 1

Vamos analisar a série infinita usando o Teste de Comparação no Limite. Esse teste nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a comparação:
19n + 6 = 19(n + 23) = 19n cdot 11 + 23n
À medida que aumenta, se aproxima de zero, então o termo se comporta de forma semelhante a .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica , que sabemos que diverge. A série harmônica é uma escolha comum para comparação porque seu comportamento de convergência ou divergência é bem conhecido.

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação no Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty 19n+61n = limn to infty n9n + 6
Simplificando o limite:
limn to infty n9n + 6 = limn to infty 19 + 6n = 19

Passo 5

Como o limite calculado é , que é um número finito e diferente de zero, o Teste de Comparação no Limite nos diz que ambas as séries se comportam da mesma maneira em termos de convergência.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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