Encontre a1 e expresse an+1 em função de an. Determine se ann=1^infty é monótona e limitada. Calcule lim an.
(d) 1,1+12, 1+12+12, cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o primeiro termo e expressar o termo seguinte em função de . Depois, precisamos verificar se a sequência é monótona e limitada e, por fim, calcular o limite da sequência. A matéria envolvida aqui é sobre sequências recursivas, ou seja, aquelas onde cada termo depende do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a definição recursiva e aplicar alguns conceitos de análise de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando para a sequência dada:
1, 1 + 12, 1 + 12 + 12, cdots
O primeiro termo é simplesmente a1 = 1 . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar an+1 = 1 + 12 + 12 em função de an+1 = 1 + 12 + 12 . Observando a sequência, percebemos que cada termo após o primeiro é construído adicionando an+1 = 1 + 11 + an a uma fração cujo denominador envolve o termo anterior. Especificamente:
Mas notando que é uma constante, percebemos que a expressão geral para qualquer é:
No entanto, parece que há um padrão mais complexo aqui. Vamos generalizar melhor. Observando a forma recursiva, podemos reescrever a relação de forma mais simples:
Isso simplifica a expressão e nos permite calcular cada termo com base no anterior.

Passo 4

Agora que temos a relação recursiva, vamos verificar se a sequência é monótona e limitada.
Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Calculando os primeiros termos:
a1 = 1
a2 = 1 + 12 = 1.5
a3 = 1 + 12 + 12 = 1 + 12.5 = 1.4
a4 = 1 + 12 + 12.5 approx 1 + 12.4 approx 1.4167
Parece que os termos estão oscilando, mas se aproximando de um valor específico. Para formalizar, podemos assumir que a sequência converge para um limite .

Passo 5

Vamos calcular o limite L = 1 + 12 + 12 da sequência L = 1 + 12 + 1L . Assumindo que a sequência converge, temos:
L(2 + 1L) = 1 times (2 + 1L) + 1
Isso nos leva a uma equação onde 2L + 1 = 2 + 1L + 1 aparece de forma recursiva. Resolvendo a equação:
2L + 1 = 3 + 1L
Multiplicando ambos os lados por 2L^2 + L = 3L + 1 :
2L^2 - 2L - 1 = 0
Simplificando:
L = 2 pm raiz(2)^2 - 4 times 2 times (-1)2 times 2 = 2 pm raiz4 + 84 = 2 pm raiz124 = 2 pm 2raiz34 = 1 pm raiz32
L = 1 + raiz32
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos lidando com uma sequência positiva, descartamos a solução negativa:

Resposta

O limite da sequência é aproximadamente igual a 1,366.

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