Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o primeiro termo
e expressar o termo seguinte
em função de
. Depois, precisamos verificar se a sequência é monótona e limitada e, por fim, calcular o limite da sequência. A matéria envolvida aqui é sobre sequências recursivas, ou seja, aquelas onde cada termo depende do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a definição recursiva e aplicar alguns conceitos de análise de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando para a sequência dada:
O primeiro termo é simplesmente
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
. Observando a sequência, percebemos que cada termo após o primeiro é construído adicionando
a uma fração cujo denominador envolve o termo anterior. Especificamente:
Mas notando que
é uma constante, percebemos que a expressão geral para qualquer
é:
No entanto, parece que há um padrão mais complexo aqui. Vamos generalizar melhor. Observando a forma recursiva, podemos reescrever a relação de forma mais simples:
Isso simplifica a expressão e nos permite calcular cada termo com base no anterior.
Passo 4
Agora que temos a relação recursiva, vamos verificar se a sequência é monótona e limitada.
Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Calculando os primeiros termos:
Parece que os termos estão oscilando, mas se aproximando de um valor específico. Para formalizar, podemos assumir que a sequência converge para um limite
.
Passo 5
Vamos calcular o limite
da sequência
. Assumindo que a sequência converge, temos:
Isso nos leva a uma equação onde
aparece de forma recursiva. Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos lidando com uma sequência positiva, descartamos a solução negativa:
Resposta
O limite da sequência é
aproximadamente igual a 1,366.
Exercícios relacionados
É verdadeiro ou falso?
(d) Se é convergente, então
é convergente.
(d) Se
Um tanque contém inicialmente 60 gal de ágưa pura. Água salgada contendo 1 lb de sal por galão entra no tanque a uma taxa de
, e a solução (perfeitamente homogênea) deixa o tanque a uma taxa de 3
; o tanque está vazio depois de 1 h . (a) Ache a quantidade de sal no tanque depois de
minutos. (b) Qual a quantidade máxima de sal alcançada no tanque?
É verdadeiro ou falso?
(e) Se é convergente, então
e
são convergentes.
(e) Se
É verdadeiro ou falso?
(j) Se é monótona, então
é convergente.
(j) Se