Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o primeiro termo e expressar o termo seguinte em função de . Depois, precisamos verificar se a sequência é monótona e limitada e, por fim, calcular o limite da sequência. A matéria envolvida aqui é sobre sequências recursivas, ou seja, aquelas onde cada termo depende do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a definição recursiva e aplicar alguns conceitos de análise de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando para a sequência dada:
O primeiro termo é simplesmente . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar em função de . Observando a sequência, percebemos que cada termo após o primeiro é construído adicionando a uma fração cujo denominador envolve o termo anterior. Especificamente:
Mas notando que é uma constante, percebemos que a expressão geral para qualquer é:
No entanto, parece que há um padrão mais complexo aqui. Vamos generalizar melhor. Observando a forma recursiva, podemos reescrever a relação de forma mais simples:
Isso simplifica a expressão e nos permite calcular cada termo com base no anterior.

Passo 4

Agora que temos a relação recursiva, vamos verificar se a sequência é monótona e limitada.
Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Calculando os primeiros termos:
Parece que os termos estão oscilando, mas se aproximando de um valor específico. Para formalizar, podemos assumir que a sequência converge para um limite .

Passo 5

Vamos calcular o limite da sequência . Assumindo que a sequência converge, temos:
Isso nos leva a uma equação onde aparece de forma recursiva. Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos lidando com uma sequência positiva, descartamos a solução negativa:

Resposta

O limite da sequência é aproximadamente igual a 1,366.

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