É verdadeiro ou falso?
(j) Se
é monótona, então
é convergente.
(j) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo perguntado aqui. A questão quer saber se é verdadeiro ou falso que toda sequência monótona é convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e o que significa ela ser convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Basicamente, uma sequência é monótona se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Existem dois tipos:
- Monótona crescente: cada termo é maior ou igual ao anterior.
- Monótona decrescente: cada termo é menor ou igual ao anterior.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma sequência convergente. Uma sequência é convergente se os seus termos se aproximam cada vez mais de um certo número, chamado de limite, à medida que avançamos na sequência. Ou seja, a sequência “se estabiliza” em algum valor específico.
Passo 4
A pergunta sugere que se uma sequência é monótona, então ela necessariamente é convergente. Mas será que isso é sempre verdade? Na matemática, sabemos que uma sequência monótona é convergente se e somente se ela está limitada. Isso significa que, além de estar sempre aumentando ou diminuindo, os termos da sequência também não podem crescer sem limites.
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo para ilustrar isso. Considere a sequência
, onde
é um número natural. Essa sequência é monótona crescente porque cada termo é maior que o anterior. No entanto, ela não é convergente porque não se aproxima de nenhum número específico; na verdade, ela “vai para o infinito”.
Resposta
Falso. Nem toda sequência monótona é convergente.
Exercícios relacionados
É verdadeiro ou falso?
(e) Se é convergente, então
e
são convergentes.
(e) Se
Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(d)
(d)
Um ponto move-se sobre uma curva
de modo que o vetor posição
é igual ao vetor tangente
, para todo
. Encontre as equações paramétricas de C.
Esboce a curva de nível de
que passa por
e desenhe o vetor gradiente em
.
a) .
a)