É verdadeiro ou falso?
(j) Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é monótona, então {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo perguntado aqui. A questão quer saber se é verdadeiro ou falso que toda sequência monótona é convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e o que significa ela ser convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Basicamente, uma sequência é monótona se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Existem dois tipos:
  • Monótona crescente: cada termo é maior ou igual ao anterior.
  • Monótona decrescente: cada termo é menor ou igual ao anterior.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma sequência convergente. Uma sequência é convergente se os seus termos se aproximam cada vez mais de um certo número, chamado de limite, à medida que avançamos na sequência. Ou seja, a sequência “se estabiliza” em algum valor específico.

Passo 4

A pergunta sugere que se uma sequência é monótona, então ela necessariamente é convergente. Mas será que isso é sempre verdade? Na matemática, sabemos que uma sequência monótona é convergente se e somente se ela está limitada. Isso significa que, além de estar sempre aumentando ou diminuindo, os termos da sequência também não podem crescer sem limites.

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo para ilustrar isso. Considere a sequência , onde é um número natural. Essa sequência é monótona crescente porque cada termo é maior que o anterior. No entanto, ela não é convergente porque não se aproxima de nenhum número específico; na verdade, ela “vai para o infinito”.

Resposta

Falso. Nem toda sequência monótona é convergente.

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